C++怎么实现一个最小生成树Prim算法_C++图论算法与邻接矩阵实现

Prim算法从起始顶点出发，每次选择最近顶点加入生成树，利用贪心策略构建最小生成树。通过邻接矩阵存储图，用key数组记录各顶点到生成树的最短距离，mstSet标记已选顶点。初始化key为无穷大，起点key为0。循环中选取key最小且未访问的顶点u，将其加入MST，并遍历其邻接点v：若存在边(u,v)且v未访问且该边权重小于当前key[v]，则更新parent[v]=u和key[v]=graphu。最终输出每条MST边及权重，总时间复杂度O(V²)，适用于稠密图。示例图中MST总权值为16。

Prim算法用于在加权无向图中找出最小生成树（MST），即连接所有顶点且总权重最小的子树。C++中结合邻接矩阵实现该算法，逻辑清晰、便于理解。

Prim算法基本思想

从任意一个起始顶点开始，逐步将距离当前生成树最近的顶点加入集合，直到所有顶点都被包含。每次选择边权最小的边进行扩展，使用贪心策略保证整体最优。

关键点：

• 维护一个集合表示已加入生成树的顶点
• 用数组记录每个顶点到当前生成树的最短距离
• 每次选出未访问顶点中距离最小者，并更新其邻接点的距离

邻接矩阵存储图结构

使用二维数组graph[V][V]表示图，graph[i][j]为顶点i到j的边权。若无边，则设为一个极大值（如INT_MAX）。

示例代码定义：

const int V = 5; // 顶点数
int graph[V][V] = {
    {0, 2, 0, 6, 0},
    {2, 0, 3, 8, 5},
    {0, 3, 0, 0, 7},
    {6, 8, 0, 0, 9},
    {0, 5, 7, 9, 0}
};

Prim算法实现步骤

以下是基于邻接矩阵的Prim算法完整实现：

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#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;
<p>int minKey(int key[], bool mstSet[]) {
int min = INT_MAX, min_index;
for (int v = 0; v < V; v++)
if (!mstSet[v] && key[v] < min)
min = key[v], min_index = v;
return min_index;
}</p><p>void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
cout << "Edge \tWeight\n";
for (int i = 1; i < V; i++)
cout << parent[i] << " - " << i << "\t" << graph[i][parent[i]] << endl;
}</p><p>void primMST(int graph[V][V]) {
int parent[V];
int key[V];
bool mstSet[V];</p><pre class='brush:php;toolbar:false;'>for (int i = 0; i < V; i++)
    key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false;

key[0] = 0;
parent[0] = -1;

for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
    int u = minKey(key, mstSet);
    mstSet[u] = true;

    for (int v = 0; v < V; v++)
        if (graph[u][v] && !mstSet[v] && graph[u][v] < key[v])
            parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
}

printMST(parent, graph);

运行与输出说明

调用primMST(graph)后，程序输出每条选中的边及其权重。例如：

Edge    Weight
0 - 1   2
1 - 2   3
0 - 3   6
1 - 4   5

总权重为 2+3+6+5=16，构成一棵最小生成树。

时间复杂度为 O(V²)，适合稠密图。若用优先队列优化可降至 O(E log V)，但邻接矩阵下不易实现稀疏结构。

基本上就这些。掌握这个版本有助于理解Prim核心机制，后续可拓展为邻接表或动态图处理。

以上就是C++怎么实现一个最小生成树Prim算法_C++图论算法与邻接矩阵实现的详细内容，更多请关注其它相关文章！

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 2025-11-24